t分布は、母集団の標準偏差が未知の場合に、母平均の推定や検定に利用される連続確率分布です。統計学の多くの理論では正規分布が基本となりますが、正規分布を適用するには「母集団の標準偏差が既知である」という前提が必要です。しかし、現実世界ではこの前提が満たされることは稀であり、多くの場合、手元にあるのは少数の標本データだけです。t分布は、このような実際的な制約の下で統計的推論を可能にする重要な分布です。
（図：t分布）
定義とパラメータ
t分布は、自由度（degrees of freedom, df）という単一のパラメータによって形状が決定される連続確率分布です。この自由度は、利用可能な独立した情報の数を表し、標本サイズと密接に関係します。
特性：正規分布との比較
t分布は、正規分布と同様に、左右対称でベル型（釣り鐘型）の形状を持ちますが、重要な違いがあります。
裾の重さ
t分布の裾は正規分布よりも重い（thick tails）という特徴があります。これは、t分布のほうが、正規分布よりも平均から遠い（極端な）値が出現する確率が高いことを意味します。
自由度の影響
自由度が大きくなるほど、t分布は正規分布に近づいていきます。一般的に、自由度が30を超えると、t分布は正規分布とほぼ同じと見なされます。
この「裾の重さ」という特性は、少数の標本を扱う上で重要です。少数の標本では、たまたま極端な値（外れ値：他のデータと大きく異なる値）が含まれる可能性が高く、そのデータだけで母集団を推測すると、不確実性が大きくなります。t分布の重い裾は、この不確実性を考慮し、より慎重な推論を可能にします。
t統計量と自由度
t分布は、以下の式で定義されるt統計量が従う分布です。
$$t = \frac{\bar{x} – \mu}{s/\sqrt{n}}$$
ここで各英字は以下の通りです。
- $\bar{x}$： 標本平均
- $\mu$： 母集団の平均（未知のパラメータ）
- $s$： 標本の標準偏差
- $n$： 標本のサイズ
この式の分子は「標本平均が母集団の平均からどれだけ離れているか」を示し、分母は「標本平均のばらつき」を示しています。標準正規分布（Z分布）では分母に母集団の標準偏差$\sigma$を使いますが、t統計量では代わりに標本の標準偏差$s$を使います。この$s$は、標本ごとにばらつきがあるため、t統計量全体の不確実性が高まります。
自由度の計算
t統計量における自由度は、$df = n-1$で計算されます。これは、標本標準偏差$s$を計算する際に、平均からの偏差の二乗和を$n-1$で割ることに由来します。直感的には、「標本の情報を使って母集団の標準偏差を推定する際に、1つの情報（標本平均）をすでに使っているため、自由に変動できるデータの数が1つ減る」と解釈できます。
主要な応用
1. t検定（t-test）
t検定は、2つのグループの平均値に統計的に有意な差があるかを検定する際に用いられる基本的な手法です。t分布は、この検定の帰無仮説（「2つのグループの母平均には差がない」という仮説）が正しいと仮定した場合に、t統計量がどのような分布に従うかを示します。
検定の手順
- 各グループから標本を抽出し、平均値と標準偏差を計算
- これらの値を使ってt統計量を計算
- 自由度に基づいたt分布上でのt統計量の位置を確認し、p値（帰無仮説が正しい場合にこのような結果が得られる確率）を計算
- p値が十分に小さければ（通常は0.05未満）、帰無仮説を棄却し、「2つのグループには統計的に有意な差がある」と結論付ける
2. 信頼区間の計算
t分布は、母集団の平均$\mu$が「どの範囲にある可能性が高いか」を推定する信頼区間の計算にも使われます。
信頼区間は、以下の式で計算されます：
$$\text{信頼区間} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$
- $\bar{x}$： 標本平均
- $t_{\alpha/2, n-1}$： 自由度$n-1$のt分布における臨界値（信頼水準に応じてt分布表から求める値）
- $s$： 標本標準偏差
- $n$： 標本のサイズ
この計算により、「95%の確率で、真の母平均はこの範囲内にある」という結論を導き出すことができます。正規分布を使った信頼区間の計算と比べると、t分布を使うことで、少数の標本から生じる不確実性が考慮され、信頼区間の幅がわずかに広くなります。これは、より現実的で保守的な推定結果を提供します。
応用事例
t分布は、少数のデータから推論を行う必要がある様々な分野で活用されています。
品質管理
製造された製品のサンプルの平均重量が、目標とする重量と異なっているかどうかを検定します。少数の製品を抜き取り検査（全体から一部を選んで検査する方法）する場合に有効です。
医療・臨床試験
新しい治療法が、従来の治療法よりも効果的であるかを検証します。少数の患者グループに新しい薬を投与し、その効果を統計的に評価します。
マーケティング調査
新しい広告キャンペーンが、顧客の購買意欲に変化をもたらしたかを検定します。少数の消費者グループを対象にアンケート調査を行い、その結果から全体への影響を推測します。
科学研究
実験室での測定データなど、少数のデータポイントから統計的な結論を導き出す際に利用されます。特に、実験計画法（効率的に実験を設計し、結果を分析する方法論）において重要な役割を果たします。
心理学研究
被験者数が限られた心理実験において、治療効果や介入効果を評価するために広く使用されます。
まとめ
t分布は、母集団の標準偏差が未知で、手元にあるデータが少数の標本しかないという、現実世界で頻繁に遭遇する状況を解決するために不可欠なツールです。
主要な特徴
- 正規分布との違いは「裾の重さ」にあり、これが少ないデータから生じる不確実性を適切に考慮
- 自由度という唯一のパラメータが標本サイズと密接に関連し、自由度が大きいほど正規分布に近づく
- t検定や信頼区間の計算を通じて、少数のデータから母平均の推定やグループ間の平均の比較を可能にする
t分布を理解することは、統計的推論において現実的で実用的なアプローチを身につけることを意味します。特に、研究や品質管理、マーケティング分析など、限られたデータから意味のある結論を導き出す必要がある場面では、t分布の重要性は計り知れません。
